対称性を用いた定積分の有名問題(数学Ⅲ)➁解答編

2021.2.22|ウインロード通信



 こんにちは。進学予備校ウインロードです。今日は、先週末に載せた定積分の有名問題の解答を……

 

[問題] (1) 連続関数 \(f(x)\) に対し、\(\displaystyle \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx \) が成り立つことを示せ。

 

    (2) 定積分 \(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{\sin x +\cos x} dx\) を求めよ。

 

[解答] (1) \(x=a-t\) とおくと  \(dx=-dt\)    \(\begin{array}{c|ccc}x&0&\to&a\\ \hline  t&a&\to&0\end{array}\)

    \(\displaystyle \int_0^a f(x) dx = \int_a^0 f(a-t) (-dt) =-\int_a^0 f(a-t) dt =\int_0^a f(a-t) dt \)

 

    \(\displaystyle\int_0^af(a-t)dt=\int_0^af(a-x)dx\) であるので、\(\displaystyle \int_0^a f(x) dx = \int_a^0 f(a-x)dx \)

 

   (2) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sin x +\cos x}\) とすると、

 

     \(f(\frac{\pi}{2}-x)=\displaystyle\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x) }{\sin(\frac{\pi}{2}-x) +\cos (\frac{\pi}{2}-x)}=\displaystyle\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\) となる。

 

     (1)より \(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} f(x) dx = \int_0^\frac{\pi}{2} f(\frac{\pi}{2}-x)dx \) であるので

 

     \(I=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{\sin x +\cos x} dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x}{\sin x +\cos x} dx\) とおくと \(2I=I+I\) より

 

     \(2I=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x}{\sin x +\cos x} dx+\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x}{\sin x +\cos x} dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x +\cos x} dx\)

 

     となり、  \(2I=\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2}dx=\left[ x \right]_0^\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)       よって \(\displaystyle I=\frac{\pi}{4}\) ……(答)

 

 このタイプの定積分は、通常、誘導が付いていますが、時として誘導無しの出題もあり、パターンと

 

して覚えていないとかなり苦戦することになるでしょう。               文責:金藤

Follow me!

コメント一覧

コメントはありません。

この記事にコメント

コメントは締め切られました。

トラックバックURL

PAGE TOP