【A】はAの約数の個数を表す。
たとえば、【４】は４の約数が｛ 1, 2, 4 }の３個だから【４】＝３となる。

このようなルールで次の問題を考えてみよう。

【A】＝６となるような整数Aのうち、小さい方から数えて６番目の整数は？

順番に考えていってもすぐに答えは出てくるが、次の法則を頭に入れておこう。
中学生、高校生はもちろん、中学受験の算数を学習しているみなさんにとっても大切な知識です。

素因数分解をして約数の個数で整数を分類することが可能です。

たとえば約数が３個の整数は 4 , 9 , 25 , 49 などですね。

2×2 = 4 　3×3 = 9　 5×5 = 25 　7×7 = 49

ちなみに、4×4 = 16 は？ 6×6 = 36 は？ と考えた人もいると思いますが、
具体的に約数を考えてみてください。

16 {1, 2, 4, 8, 16}
36 {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

約数は3個になりませんよね。

つまり、約数を３個持つ整数の法則は「素数 × 素数」ということだ。
（これ以降 a, b を異なる素数とする）

ちなみに「素数」とは「正の約数が 1 と自分自身の2個だけである自然数」である。

約数を３個持つ整数 = a × a
約数は{ 1, a, a × a }

同じ素数を２回かけると、約数を３個持つ整数は簡単に導けるわけだ。

ではもう少し実験してみましょう。

「 a × a × a　」ってどうなるのでしょう。

a = 2 として具体的に考えてみましょう。

2 × 2 × 2 = 8

８の約数は {1, 2, 4, 8} の４個。

ではa = 3 のときは？

3 × 3 × 3 = 27

２７の約数は {1, 3, 9, 27} の４個。

また、a × b についても触れておこう。

a = 2, b = 3とすると

2 × 3 = 6
６の約数は{1, 2, 3, 6}

a = 2, b = 5とすると

2 × 5 = 10
１０の約数は{1, 2, 5, 10}

約数を４個持つ整数 = a × a × a , a × b
約数は{ 1, a, a × a, a × a × a },{1, a, b, a × b }

このように考えていくと、次のようなルールが見えてくる

約数1個   1                                {1}
約数2個   a                               {1, a}
約数3個   a × a                        {1, a, a × a}
約数4個   a × a × a                  {1, a, a × a, a × a × a}
約数4個   a × b                        {1, a, b, a × b}
約数5個   a × a × a × a           {1, a, a × a, a × a × a, a × a × a × a}
約数6個   a × a × a × a × a    {1, a, a × a, a × a × a, a × a × a × a, a × a × a × a × a}
約数6個   a × a × b                 {1, a, b, a × a, a × b, a × a × b}

これは覚えておこう。

では、本題に戻りましょう。

【A】＝６となるような整数Aのうち、小さい方から数えて６番目の整数は？

約数が6個だから

a × a × a × a × a の場合
a = 2のとき 32
a = 3のとき 243

a × a × b の場合
a = 2, b = 3 のとき 12
a = 3, b = 2 のとき 18
a = 2, b = 5 のとき 20
a = 2, b = 7 のとき 28
a = 2, b = 11 のとき 44
a = 3, b = 5 のとき 45

これを小さい方から並べていくと

12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, ・・・,243, ・・・

となる。よって答えは「４４」となる。

知っておくと便利ですよね。

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