高校数学でも、基礎力を徹底的に鍛える訓練は欠かさないようにしてください。教科書レベルの問題を見た瞬間に解法が浮かぶようになるまで繰り返し練習を重ねることが重要です。センター試験の数学も、訓練を続ければ確実に解けるようになります。

しかし、難関国公立大学の2次試験や難関私立大学、医歯薬系の受験では、記述式の数学問題を解く力が必須となります。記述式が解けない場合、致命的な弱点となるため、ここでは「じっくり考える力」や「ひらめき力」を養う勉強が必要です。

例えば、以下の問題をご覧ください。実際に東京大学の入試で出題されたものです。

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k > 0 とする。xy平面上の二曲線
y = k( x－x³ )、x = k( y－y³ )
が第1象限に α≠β となる交点 (α,β) を持つような k の範囲を求めよ。
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このような問題に直面すると、「見たことがない形式の問題だ」「どこから手をつけていいのかわからない」と感じるかもしれません。実際、入試問題はそのように作られています。このような条件が複雑で見通しの悪い問題を解く訓練では、単に「わからない⇒解答を見る」では済みません。

これまで学んできた基本的な知識を総動員して、まずは自分なりに問題文から情報を拾い出し、考えることが大切です。解くためのコツとしては次の2点が挙げられます。

「図や具体例を考える」
「問題文のヒントを拾い、できることを全て試す」
例えば、「第1象限」とあるので、x > 0 や y > 0、さらに x＋y > 0 を満たす条件が考えられます。また、問題文に k > 0 と明記されているので、この条件も考慮します。さらに、「相加平均・相乗平均の関係」などが使えるかもしれません。

また、「α≠β」という条件は、2次方程式が異なる2つの解を持つことを意味しています。解が第1象限にあるため、2つの解は正の値となります。ここで、「解と係数の関係」や「判別式」を使う可能性があることを考えるべきです。

そして、与えられた方程式
y = k( x－x³ )、x = k( y－y³ )
に注目します。一見、連立方程式として代入法を試したくなりますが、この方法では9次方程式が現れることに気づくでしょう。このように複雑になりすぎた場合は、別のアプローチ（例えば加減法など）を試すべきです。試行錯誤を繰り返し、いろいろな方向から挑戦していきます。

このプロセスを繰り返すことで、問題に慣れ、じっくり考える力が養われます。解法が思いつかなくなったら、限界まで知恵を絞って考え抜いた後に解答を確認してください。そして、解答を読む際にはただ理解するだけでなく、どのようにその結論に至ったのかをじっくり分析することが大切です。

重要なのは、問題文と真剣に向き合い、諦めずに自分で考え抜くこと。途中で試した方法が全て的外れだったとしても構いません。それは訓練の一環です。最も良くないのは「何も書き出せなかった」という状態です。

この「何も書き出せなかった」原因として考えられるのは、基礎力の訓練が不足しているか、もっと根本的な問題が潜んでいる場合です。その根本的な問題とは一体何なのか――

つづく

（大分理系専門塾WINROAD 江本）

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