図１のように、摩擦なしで動くピストンを備えた容器が垂直に立っており、その中に単原子分子の理想気体が閉じ込められている。容器は断面積Sの部分と断面積２Sの部分からなっている。ピストンの質量は無視できるがその上に一様な密度の液体がたまっており、つりあいが保たれている。気体はヒーターを用いて加熱することができ、気体と容器壁およびピストンとの間の熱の移動は無視できる。また気体の重さ、ヒーターの体積、液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき、液体より上の部分は圧力０の真空とする。重力加速度の大きさをgとする。次の問いに答えよ。[東京大]

[A] まず、気体、液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。

このとき液体部分の高さはh/2である。

(1) 初め、気体部分の高さはh/2、圧力はP0であった。液体の密度を求めよ。

ピストンは液体から受ける力と気体から受ける力がつり合って静止しているので

液体の密度をρとすると液体から受ける力はρS(h/2)g、気体から受ける力はP0Sなので

したがってとなります。

(2) 気体を加熱して、気体部分の高さを h/2からhまでゆっくりと増加させた(図２)。この間に気体がした仕事を求めよ。

この間気体の圧力はP0で一定なので(ピストン上部の液体の水深が変化しないのでピストンにかかる水圧は一定、これがP0とつり合っていた)等圧変化。よって気体のした仕事は

となります。

(3) この間に気体が吸収した熱量を求めよ。

気体の内部エネルギーの増加は

 なので

となります。

[B] 気体部分の高さがhのとき、液体の表面は断面積2Sの部分との境界にあった(図２)。

このときの気体の温度はT1であった。さらに、ゆっくりと気体を加熱して、気体部分の高さがh+xとなった場合について考える(図3)。

 

(1) x>0では、液体部分の高さが小さくなることにより、気体の圧力が減少した。気体の圧力Pをxを含んだ式で表せ。

断面積２Sの部分は液体部分の高さが ずつ減少するので液体部分の高さはとなります。

このとき液体から受ける圧力は

なので気体の圧力もこれと等しくなります。

 

(2) x>0では加熱しているにもかかわらず、気体の温度はT1より下がった。気体の度温Tを、xを含んだ式で表せ。

したがって

となります。

(3) 気体部分の高さがhからh＋xに変化する間に気体がした仕事Wを求めよ。

PVグラフにすると

PVグラフの面積が仕事なので

となります。

(4) 気体部分の高さがある高さh＋Xに達すると、ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が０になり、

xがXを超えるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求めよ。

気体部分の高さがhからh＋xに変化する間の内部エネルギの変化は

なので

xについての上に凸の2次関数である。

最大値となる熱量に達した後は熱を加えなくてもピストンは上昇する。つまり必要な熱量が０になります。

したがって

となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）