ここでまず次の計算を考えてみよう
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{6}
\]

答えは次のように計算します。
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{6}= \left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)
\]
\[
=\left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)
\]
\[
=\left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)
\]
これを一般化すると
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{2m-1}- \frac{1}{2m}
\]
\[
=\left( \frac{1}{m+1}+ \frac{1}{m+2}+ \frac{1}{m+3}+\quad \cdots \quad \frac{1}{2m-1}+ \frac{1}{2m}\right)
\]
となるわけです。

したがって