大分市で中学受験の算数、理科を指導する大分理系専門塾WINROADです。

（問題）

3つの異なる整数をX,12,30とする。

この３つの整数の最大公約数は6、最小公倍数は420とすると、このようなXはいくつあるか？

最大公約数は６　つまり　6 = 2 × 3

最小公倍数は420　つまり　420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7

また、12 = 2 × 2 × 3 、　30 = 2 × 3 × 5

である。

さあ、これらの情報から「整数X」を考えていくことになる。ここで、思い出してほしい。

3つの整数の最大公約数、最小公倍数ってどうやって出していたっけ？

3つの整数の最大公約数 ＝「3数に共通する素因数の積」

3つの整数の最小公倍数 ＝「少なくとも2数に共通する素因数（割った数）と残った数の積」

ということでしたよね？

最大公約数６　つまり　2 × 3　は３つの整数に共通で入っている素因数の積である。

12 = 2 × 2 × 3

30 = 2 × 3 × 5

X = 2 × 3 × (　)

さて、整数Xのかたちがだんだん現れてきました。

次は「最小公倍数」から（     ）に入る数字を割り出していきましょう。

最小公倍数420　つまり　420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7

この情報から「7」は絶対に入れておく必要があるということに気づいてほしい。

12と30には 最小公倍数6を構成する数を除くと、それぞれ 2 と 5 が単独で存在している。

そのままにしておいても最小公倍数を求めるには何ら問題はない。

7は整数Xに組み込んでおかないといけませんよね。（残った数の積となるから）

また、整数Xに2や5が単独で、もしくは同時に存在していても最小公倍数420を求めることは可能だ。（少なくとも2数に共通する素因数で割った数となるから）

以上のことを踏まえると X = 2 × 3 × (　) の（　）に入る数字は

（  7  ）、（ 2 × 7 ）、（ 5 × 7 ）、（2 × 5 × 7）の4通りと考えられる。

よって X＝42, 84, 210, 420

（大分理系専門塾WINROAD 江本）

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