図のように、長さ l で質量の無視できる棒によってつながれた、

質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。

ただしM>mとする。棒は物体Aおよび物体Bに対して

なめらかに回転でき、棒が鉛直方向となす角をθとする。

初め、物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。

一方、物体Bは物体Aの真上(θ=0)から初速度0で右側へ

動きはじめた。その後の運動について次の問いに答えよ。

なお重力加速度の大きさをgとして、物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。

また、棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。[東京大]

[A] まず、物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。

(1) 物体Bが動きだしてからしばらくの間は、物体Aは壁に接したままであった。

この間の物体Bの速さvを、θを含んだ式で表せ。

物体Aが動いていないので物体Bの位置エネルギーが物体Bの

運動エネルギーに変換されるので

​\( mg(l-lcos\theta)=\dfrac{1}{2}mv^2 \)​より​\( v=\sqrt{2gl(1-cos\theta)} \)​

となります。(速さの向きは棒に対して垂直な方向)

(2) (1)のとき、棒から物体Bにはたらく力Fを、θを含んだ式で表せ。

棒が物体Bを押す向きを正とする。

物体Bは棒があるので円運動を行う。このとき物体Bには

次の力がはたらく

①物体Bに働く重力

②棒が物体Bをおす力F

③円運動による遠心力

​\( ②F+③{\dfrac{mv^2}{l}}-①mgcosθ＝０ \)​

​\( F=mgcosθ-\dfrac{m{2gl(1-cos\theta)}}{l} \)

​\( =mgcosθー2mg(1-cosθ)​=mg(3cosθ-2) \)​

(3) ​\( \theta=\alpha \)​において、物体Aが壁から離れて床の上を

滑りはじめた。​\( cos\alpha \)​を求めよ。

物体Aは棒から押される力の水平成分で壁に

押し付けられる。これが​\( mg(3cosθ-2)sin\theta \)​なので、

これが0になるとき物体Aが滑りはじめる。したがって

​\( mg(3cos\alpha-2)sin\alpha=0 \)​

以上より​\( cos\alpha=\dfrac{2}{3} \)​となります。

(4) ​\( \theta=\alpha \)​における物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。

このときの物体Bの速さは棒に垂直な方向に​\( v=\sqrt{2gl(1-\dfrac{2}{3})}=\sqrt{\dfrac{2gl}{3}} \)​なもで、

水平成分は​\( vcos\alpha=\dfrac{2}{3}v=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2gl}{3}} \)​となります。

したがって​\( mvcos\alpha=\dfrac{2}{3}mv=\dfrac{2m}{3}\sqrt{\dfrac{2gl}{3}} \)​

(5) 物体Bが物体Aの真横(θ=90°)にきたときの、物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表しても良い。

θ＝90°のとき棒でつながっているので、物体Aと物体Bの水平方向の速度は同じとなります。

物体Aが壁から離れるときの水平方向の運動量Pが保存されるので

​\( P=Mv+m v=(M+m)v \)​したがって​\( v＝\dfrac{P}{M+m} \)​となります。

(6) θ=90°に達した直後に、物体Bが床と完全弾性衝突した。その後

物体Bがいちばん高く上がったときθ=βであった。cosβを求めよ。

Pを含んだ式で表しても良い。

物体Bがいちばん高く上がったときなので物体Bの速さの鉛直成分は０

このとき物体Aと物体Bは棒でつながっているので速さはともに水平方向で同じになります。

水平方向の運動量保存則よりこの速さは\( v＝\dfrac{P}{M+m} \)​となります。

 

完全弾性衝突のときはエネルギー保存則が成り立つので

​\( mgl=\dfrac{1}{2}(M+m)(\dfrac{P}{M+m})^2+mglcosβ \)​

​\( mglcosβ=mgl-\dfrac{1}{2}(M+m)(\dfrac{P}{M+m})^2 \)​

​\( mglcosβ=mgl-\dfrac{P^2}{2(M+m)} \)​

​\( cosβ=1-\dfrac{P^2}{2mgl(M+m)} \)​

[B] 次に、物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度はθ＝60°において、

物体Aが壁から離れた。物体Aと床との間の静止摩擦係数​\( \mu \)​を求めよ。

最大静止摩擦力が左向きで

​\( \mu [Mg+ mg(3cos60°-2)cos60°]=\mu [M-\dfrac{m}{4}]g \)​

物体Aが棒から受ける水平方向の力は左向きに

​\( mg(3cos60°-2)sin60°=mg(\dfrac{3}{2}-2)\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{4}mg \)​

つまり右向きに​\( \dfrac{\sqrt3}{4}mg \)​

​\( \mu [M-\dfrac{m}{4}]g=\dfrac{\sqrt3}{4}mg \)​

​\( \mu [\dfrac{4M-m}{4}]=\dfrac{\sqrt3}{4}m \)​

​\( \mu =\dfrac{\sqrt3m}{4}[\dfrac{4}{4M-m}]=\dfrac{\sqrt3m}{4M-m} \)​となります。

 

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）