３回目となりました、これまでのとおり、与えられた式をどのようにして、基本となる、等差数列、等比数列、階差数列の形に持ち込むかが基本でした。今回も２問取り上げてみます。

問題

​\( a_1=1、　a_{n+1}=2a_n+3n \)​　　

⑦​\( a_{n+1}=pa_n+(nの１次式) \)​の形

この形の漸化式は１項ずらして引くと解決します。

​\( a_{n+2}=2a_{n+1}+3(n+1)　…① (１項ずらした式)\\a_{n+1}=2a_n+3n　…②(もとの式) \)​

①ー②より

​\( a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)+3 \)​

ここで​\( a_{n+1}-a_n=b_n \)​とおくと

​\( b_{n+1}=2b_n+3 \)​となり　④一次の特性方程式型に持ち込むことができます。

​\( b_{n+1}+3=2(b_n+3) \)​ここで​\( b_n+3=c_n \)​と置き換えずにそのままいきます。

​\( b_n+３ \)​は初項​\( b_1+3=a_2-a_1+3=(2a_1+3\cdot1)-a_1+3=5-1+3=7 \)​公比２の等比数列なので

​\( b_n+3=7\cdot2^{n-1}\\b_n=7\cdot2^{n-1}-3 \)​

​\( b_n=a_{n+1}-a_n \)​なので​\( a_{n+1}-a_n=7\cdot2^{n-1}-3 \)​

つまり③階差数列型となります。階差数列の公式から

​\( a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (7\cdot2^{n-1}-3)\\=1+\dfrac{7(2^{n-1}-1)}{2-1}-3(n-1)\\=1+7\cdot2^{n-1}-7-3n+3\\=7\cdot2^{n-1}-3n-3\)​となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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