問題　以下の問いに答えよ。

(1) 自然数a、bが a<b をみたすとき、​\( \dfrac{b!}{a!}\geqq b \)​が成り立つことを示せ。

(2) ​\( 2\cdot a!=b! \)​をみたす自然数の組( a , b )をすべて求めよ。

(3) ​\( a!+b!=2\cdot c! \)​をみたす自然数の組( a , b , c )をすべて求めよ。

(1) a,bが自然数でありa<bなので​\( b\geqq a+1 \)​なので​\( b-1\geqq a \)

したがって​\( (b-1)!\geqq a! \)​

​\( 左辺=\dfrac{b!}{a!}\geqq\dfrac{b!}{(b-1)!}=b \)​よって​\( \dfrac{b!}{a!}\geqq b \)証明終わり

(2) (1)の結果から

①a<bのとき\( 2\cdot a!=b! \)​の両辺をa!で割ると​\( 2=\dfrac{b!}{a!} \)​つまり​\( 2\geqq b \)​となり

b=1またはb=2となります。a , b は自然数で a<b なのでb=2 よって( a , b )=(1 , 2)

②a=bのとき​\( 2\cdot a!=b! \)​が成り立たないのでa , b は存在しない。

③a>bのとき(1)でa,bを入れ替えて​\( \dfrac{a!}{b!}\geqq a \)​

\( 2\cdot a!=b! \)​の両辺を​\( 2\cdot b! \)​で割ると​\( \dfrac{a!}{b!}=\dfrac{1}{2} \)​

​\( \dfrac{1}{2}\geqq a \)​となりこれをみたす自然数aは存在しない。

①、②、③より( a , b )=(1 , 2)

(3) ①a<b のとき​\( 2a!\leqq a!+b!\leqq 2b!\\2a!\leqq 2c!\leqq 2b! \)​

となるので​ ​\( a<c<b\)、a , b , cは自然数なので​\( c\leqq b-1 \)​

​\( 2c!=a!+b!　より　2=\dfrac{a!}{c!}+\dfrac{b!}{c!}>\dfrac{a!}{c!}+\dfrac{b!}{(b-1)!}=\dfrac{a!}{c!}+b \)​

​\( b<2 \)​となり​\( b=1 \)​このときa<bを満たす自然数aは存在しない。

② a>bのとき①と同様に\( a=1 \)​このときb<aを満たす自然数bは存在しない。

③a=bのとき\( a!+b!=2\cdot c! \\2a!=2c!\\a=b=c\)​

よって(a , b , c )=( m , m , m )ただしmは自然数

自然数であることと不等式条件をしっかり把握しておかないといけません。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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