問題

nを自然数とするとき、​\( 3^{n+1}+4^{2n-1} \)​は13で割り切れることを示せ。

数学的帰納法で証明することができますが、今回は二項定理を使って証明します。

​\( 4^{2n-1}=4^{2(n-1)+1}=4\cdot4^{2(n-1)}=4\cdot16^{n-1} \)​ここで

​\( 4\cdot16^{n-1}=4\cdot(13+3)^{n-1} \)​として二項定理を使います。

​\( 3^{n+1}+4^{2n-1}=3^{n+1}+4\cdot(13+3)^{n-1} \\=3^{n+1}+4({}_{n-1}C_{0}\cdot3^{n-1}+{}_{n-1}C_{1}\cdot13\cdot3^{n-2}+{}_{n-1}C_{2}\cdot13^2\cdot3^{n-3}+\dots\dots)\)​

二項定理の展開式の第２項目以降は全て​\( 13^k \)​(​\( (k=1、2、3、\dots) \)​がかかっているので

13の倍数となります。これを13Mとおくと

​\( 3^{n+1}+4({}_{n-1}C_{0}\cdot3^{n-1}+13M)=3^{n+1}+4\cdot3^{n-1}+4\cdot13M\\=3^2\cdot3^{n-1}+4\cdot3^{n-1}+4\cdot13M\\=3^{n-1}(3^2+4)+4\cdot13M\\=13(3^{n-1}+4\cdot M) \)​

したがって13の倍数となります。

ちなみに数学的帰納法では

①n=1のとき​\( 3^{1+1}+4^{2\cdot1-1}=9+4=13 \)となり13の倍数である。

②n=kのとき​\( 3^{k+1}+4^{2k-1} \)​が13の倍数であると仮定する。このとき​\( 3^{k+1}+4^{2k-1}=13M \)​

とおける。

n=k+1のとき​\( 3^{k+2}+4^{2(k+1)-1}=3^{k+2}+4^{2k+1} \)​

​\( 3^{k+1}=13M-4^{2k-1} \)​なので

​\( 3^{k+2}+4^{2k+1}=3\cdot3^{k+1}+4^{2k+1}\\=3\cdot(13M-4^{2k-1})+4^{2k+1}\\=3\cdot13M-3\cdot4^{2k-1}+4^{2k+1}\\=3\cdot13M-3\cdot4^{2k-1}+4^2\cdot4^{2k-1}\\=3\cdot13M+4^{2k-1}(16-3)\\=13(3M+4^{2k-1}) \)​

となりn=k+1のときも13の倍数となる。

①、②より数学的帰納法より任意の自然数nに対して、​\( 3^{n+1}+4^{2n-1} \)​は13で割り切れる

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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