問題

x、y、zは​\( x\leqq y \leqq z \)​を満たす自然数で次の関係式を満たす。

​\( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \)​

(1) ​\( x\leqq3 \)​である事を示せ。

(2) 自然数x、y、zの組をすべて求めよ。

(1)まずは定番ですね

​\( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\leqq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x} \)​より

​\( 1\leqq\dfrac{3}{x} \)​よって\( x\leqq3 \)​

(2) (1)で​\( x=1、2、3 \)​とわかったのですから順次調べていけば良いのです。

①​\( x=1 \)​のとき

​\( 1+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \)​なので​\( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0 \)​となり不適

②​\( x=2 \)​のとき

​\( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \)​なので​\( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2} \)​

​\( \dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{1}{2} \)​より​\( 2y+2z=yz \)​

​\( yz-2y-2z=0 \)​

​\( (y-2)(z-2)-4=0つまり(y-2)(z-2)=4 \)​​\( x\leqq y \leqq z \)​なので

​\( (y-2、z-2)=(1、4)、（2、2) \)​となります。

よって(x、y、z)＝(2、3、6)、(2、4、4)となります。

③​\( x=3 \)​のとき

​\( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1 \)​なので​\( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{3} \)​

​\( 3y+3z=2yz \)​つまり​\( 2yz-3y-3z=0 \)​ここで両辺を２倍し

​\( 4yz-6y-6z=0 \)​

​\( (2y-3)(2z-3)-9=0 \)​​、\( (2y-3)(2z-3)=9 \)​

​\( (2y-3、2z-3)=(1、9)、（3、3) \)​となります。

​\( (2y-3、2z-3)=(1、9) \)​のときは(x、y、z)＝(3、2、6)となり​​\( x\leqq y \leqq z \)​より不適

​\( (2y-3、2z-3)=(3、3) \)​のときは(x、y、z)＝(3、3、3)となり、これは​​\( x\leqq y \leqq z \)​を満たす。

①、②、③より

(x、y、z)＝(2、3、6)、(2、4、4)、(3、3、3)

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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