問題

nを１以上の整数とする。

(1) ​\( n^2+1 \)​と​\( 5n^2+9 \)​の最大公約数​\( d_ n \)​を求めよ。

(2) ​\( (n^2+1)(5n^2+9) \)​は整数の２乗にならないことを示せ。(2019 東京大)

(1) ​\( 5n^2+9=5(n^2+1)+4 \)​より​\( n^2+1 \)​と​\( 5n^2+9 \)​の最大公約数​は

​\( n^2+1 \)​と４の最大公約数と等しい。

① nが偶数の時​\( n^2+1 \)​は奇数となり４との最大公約数は１

② nが奇数のとき​\( n=2m-1 \)​とおくと

​\( n^2+1=(2m-1)^2+1=4m^2-4m+2=2(2m^2-2m+1) \)​と４の最大公約数は

​\( 2m^2-2m+1 \)​は奇数であるので２

①、②より

nが奇数のとき​\( d_n=2 \)​、nが偶数のとき​\( d_n=1\)​

(2) \( (n^2+1)(5n^2+9) \)​が平方数であると仮定すると

① nが偶数の時​\( n^2+1 \)​と​\( 5n^2+9 \)​は互いに素なので

\( (n^2+1)(5n^2+9) \)​が平方数ならば、それぞれが平方数となり

​\( n^2+1=p^2 \)、\( 5n^2+9 =q^2\)​とおける。

ここで​\( n^2\lt n^2+1\lt n^2+2t+1=(n+1)^2 \)​であるので​\( n^2\lt p^2\lt (n+1)^2 \)​

これはpが整数であることに矛盾する。

② nが奇数のとき、​\( n^2+1 \)​と​\( 5n^2+9 \)​の最大公約数は２なので

\( (n^2+1)(5n^2+9) \)​が平方数ならば、​\( n^2+1=2p^2 \)、\( 5n^2+9 =2q^2\)​とおける。

\( 5n^2+9 =2q^2\equiv4(mod 5)\)

２と５は互いに素なので​\( q^2\equiv2(mod 5) \)​

ここで

​\( q\equiv0(mod5) \)​のとき​\( q^2\equiv0(mod5) \)​、

​\( q\equiv1(mod5) \)​のとき​\( q^2\equiv1(mod5) \)​、

​\( q\equiv2(mod5) \)​のとき​\( q^2\equiv4(mod5) \)​、

​\( q\equiv3(mod5) \)​のとき​\( q^2\equiv4(mod5) \)​、

\( q\equiv4(mod5) \)​のとき​\( q^2\equiv1(mod5) \)​、

これらは​\( q^2\equiv2(mod 5) \)​に矛盾する。

①、②より

\( (n^2+1)(5n^2+9) \)​は整数の２乗にならない。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

Follow me!