問題

​\( n^3-7n+9 \)​が素数となるような整数nを全て求めよ。　(2018京都大)

さて、どこから手をつけていくか皆目見当がつかないときは、いつものように

実際に値を入れてどのようになるのか調べてみることにしよう

​\( n=1 \)​のとき​\( 1^3-7\cdot1+9=3 \)​で素数

​\( n=2 \)​のとき​\( 2^3-7\cdot2+9=3 \)​で素数

​\( n=3 \)​のとき​\( 3^3-7\cdot3+9=15 \)​で素数とはならない

​\( n=4 \)​のとき​\( 4^3-7\cdot4+9=45 \)​で素数とはならない

​\( n=5 \)​のとき​\( 5^3-7\cdot5+9=99 \)​で素数とはならない

​\( n=6 \)​のとき​\( 6^3-7\cdot6+9=183 \)​で素数とはならない

これを見るとどうやら全て３の倍数になっているようだ

つまり素数であるならば３しかないと思われる。

①​\( n\equiv0(mod3) \)​のとき

​\( n^3-7n+9\equiv0-0+0\equiv0(mod3) \)​

②​\( n\equiv1(mod3) \)​のとき

​\( n^3-7n+9\equiv1-1+0\equiv0(mod3) \)​

③\( n\equiv2(mod3) \)​のとき

​\( n^3-7n+9\equiv2-2+0\equiv0(mod3) \)​

①、②、③より

​\( n^3-7n+9 \)​は３の倍数であるので素数であるためには３のみ

​\( n^3-7n+9=3 \)​とおくと

​\( n^3-7n+6=0 \)​因数分解すると

​\( (n-1)(n-2)(n+3)=0 \)​

よって​\( n=-3、1、2 \)​となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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