問題

​\( (0.99)^{99} \)​と​\( (1.01)^{-101} \)​の大小を判定せよ。　(名大)

A=​\( (0.99)^{99} \)、B=\( (1.01)^{-101} \)​として

​\( \dfrac{A}{B} \)​が１より大きいか、小さいかを調べればよい。

​\( \dfrac{A}{B}=\dfrac{ (0.99)^{99}}{( (1.01)^{-101}} =( (0.99)^{99} (1.01)^{101}\)

なかなか難しいですね。

ここで0.99と1.01に関して​\( 0.99=(1-0.01) \)​、​\( 1.01=(1+0.01) \)​であることに注意します。

​\( f(x)=(1-x)^{99}\  (1+x)^{101}\)​とおく。

​\( f'(x)=99(1-x)^{98}\ (-1)(1+x)^{101}＋(1-x)^{99}\ 101(1+x)^{100}\\=(1-x)^{98}\ (1+x)^{100}\ [-99(1+x)+101(1-x)]\\=(1-x)^{98}\ (1+x)^{100}\ (2-200x)\\=200(1-x)^{98}\ (1+x)^{100}\ (0.01-x) \)​

​\( 0<x\leqq 0.01 \)​の範囲で​\( f'(x)\geqq 0 \)​となり​\( f(x) \)​は単調に増加する。

​\( f(0)=1 \)​なので​\( f(x)> 1 \)​

​\( (1-x)^{99}\  (1+x)^{101}>1 \)​

両辺に\( (1+x)^{-101} \)​をかけて

​\( (1-x)^{99}>(1+x)^{-101} \)​ここで​\( x=0.01 \)​とすると

​\( (0.99)^{99}>(1.01)^{-101} \)​

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

Follow me!