問題

​\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2N}\left\lfloor\dfrac{k^2}{2}\right\rfloor \)​をNの式で表せ。

さてどう処理をしましょうか？

まずはいつものようにいくつか実際に書き並べて考えていきましょう。

k=1の時　​\( \left\lfloor\dfrac{1}{2}\right\rfloor=0 \)​

k=2の時　​\( \left\lfloor\dfrac{2^2}{2}\right\rfloor= \left\lfloor2\right\rfloor=2 \)​

k=3の時　​\( \left\lfloor\dfrac{3^2}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{9}{2}\right\rfloor=4 \)​

k=4の時　​\( \left\lfloor\dfrac{4^2}{2}\right\rfloor= \left\lfloor8\right\rfloor=8 \)​

k=5の時　​\( \left\lfloor\dfrac{5^2}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{25}{2}\right\rfloor=12 \)​

k=6の時　​\( \left\lfloor\dfrac{6^2}{2}\right\rfloor= \left\lfloor18\right\rfloor=18 \)​

さて気づきましたか？

ガウス記号の中身が奇数番目は分数、偶数番目は整数になっていますね。

だから奇数番目と偶数番目に分けて考えることとします。

１〜２Nまでを奇数番目​\( 2m-1 \)​と偶数番目​\( ２m \)​に分けて​\( m＝1,2,3,\dots N \)​とします。

奇数番目は

​\( \displaystyle\sum_{m=1}^{N}\left\lfloor\dfrac{(2m-1)^2}{2}\right\rfloor=\displaystyle\sum_{m=1}^{N}\left\lfloor\dfrac{4m^2-4m+1}{2}\right\rfloor\\=\displaystyle\sum_{m=1}^{N}\left\lfloor{2m^2-2m+\dfrac{1}{2}}\right\rfloor=\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m^2-2m) \)​

偶数番目は

​\( \displaystyle\sum_{m=1}^{N}\left\lfloor\dfrac{(2m)^2}{2}\right\rfloor=\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m^2) \)​

となります。

よって

​\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2N}\left\lfloor\dfrac{k^2}{2}\right\rfloor＝\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m^2-2m) +\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m^2)=2\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m^2)-\displaystyle\sum_{m=1}^{N}(2m)\\=4\displaystyle\sum_{m=1}^{N}m^2-2\displaystyle\sum_{m=1}^{N}m\)​

​\( =4\cdot\displaystyle\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}-2\cdot\dfrac{N(N+1)}{2}\\=\dfrac{4N^3+6N^2+2N-3N^2-3N}{3}\\=\dfrac{4N^3+3N^2-N}{3} \)​

となるわけです。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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