問題

​\( \displaystyle I(a、n)=\int_0^{2\pi}e^{ax}\sin{nx}\ dx \)​のとき​\( I(a、n) \)​を求めよ。

普通に部分積分すれば良いのですが、このタイプの積分は次のようにすると計算が楽になります。

この場合次の２つを微分して考えます。

​\( (e^{ax}\ \sin{nx)’}=ae^{ax}\sin{nx}+ne^{ax}\cos{nx}\dots ① \)​

​\( (e^{ax}\ \cos{nx)’}=ae^{ax}\cos{nx}-ne^{ax}\sin{nx}\dots ② \)​

​\( ①\times a-②\times n \)​より

​\( a(e^{ax}\ \sin{nx)’}=a^2e^{ax}\sin{nx}+nae^{ax}\cos{nx}\\-n(e^{ax}\ \cos{nx)’}=-nae^{ax}\cos{nx}+n^2e^{ax}\sin{nx} \)​

よって

​\( (ae^{ax}\sin{nx}-ne^{ax}\cos{nx})’=(a^2+n^2)e^{ax}\sin{nx} \)​

​\( \displaystyle I(a、n)=\int_0^{2\pi}e^{ax}\sin{nx}\ dx=[\displaystyle\dfrac{ae^{ax}\sin{nx}-ne^{ax}\cos{nx}}{a^2+n^2}\quad]_0^{2\pi} \)​

​\( =\dfrac{-ne^{2a\pi}+n}{a^2+n^2}=\dfrac{n(1-e^{2a\pi})}{a^2+n^2} \)​

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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