問題
\( \sqrt{4n^2+165\ } \)が自然数となるような自然数nは全部で何個あるか.
また\( \sqrt{4n^2+165\ } \)の最大値を求めよ。
中学生には少し難しいですね。
\( \sqrt{\ } \)の中身が平方数になれば良いことはわかっていると思いますが
積や商でまとまった式ではないので困ります。
そこで\( 4n^2+165=k^2 \)とおきます。
そうすると\( k^2-4n^2=165 \)なので\( (k-2n)(k+2n)=3\cdot5\cdot11 \)と式変形できます。
k、nは自然数であり\( ０＜k^-2n<k+2n \)なので
| k+2n | 165 | 55 | 33 | 15 |
| k-2n | 1 | 3 | 5 | 11 |
| k | 83 | 29 | 19 | 13 |
| n | 41 | 13 | 7 | 1 |
以上より４個となり
また最大値は83となります。
（大分理系専門塾WINROAD 首藤）
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