問題

自然数m、nが​\( n^4=1+210m^2\dots① \)​

をみたすとき、以下の問いに答えなさい。

(1) ​\( \dfrac{n^2+1}{2} 、\dfrac{n^2-1}{2} \)​は互いに素な整数であることを示せ。

(2) ​\( n^2-1 \)​は168の倍数であることを示せ。

(3) ①を満たす自然数の組 (m、n )を１つ求めよ。

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(1)  ​\( n^4=1+210m^2\dots① \)​より​\( n^4 \)​は奇数である。したがってnは奇数である。

これにより​\( n^2+1、n^2-1 \)​ともに偶数となります。

したがって ​\( \dfrac{n^2+1}{2} 、\dfrac{n^2-1}{2} \)​はともに整数となります。

また​\( \dfrac{n^2+1}{2}ー\dfrac{n^2-1}{2} ＝１ \)​で連続する２整数なので

互いに素となります。

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(2) ①より​\( n^4-1=210m^2\\(n^2+1)(n^2-1)=210m^2 \)​

​\( \dfrac{n^2+1}{2} \cdot\dfrac{n^2-1}{2}=\dfrac{210m^2}{4}=\dfrac{105m^2}{2} \)​

左辺は整数となるので​\( m^2 \)​は偶数、つまりmは偶数である。

​\( m＝２k \)​とおくと

​\( (n^2+1)(n^2-1)=210m^2＝2^3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot k^2 \)​

またnは奇数なので​\( n=2a-1 \)​とおくと

​\( n^2+1=(2a-1)^2+1=4a^2-4a+2\\n^2-1=(2a-1)^2-1=4a^2-4a \)​

ここで​\( 4a^2-4a=4a(a-1) \)​は４×(連続する２整数の積)なので８の倍数である。

​\( n^2-1 \)​が８の倍数であることがわかったので

​\( (n^2+1)(n^2-1)=210m^2＝2^3\cdot3\cdot5\cdot7\cdot k^2 \)​より

​\( n^2+1 \)​が​\( 168=2^3\cdot3\cdot7 \)​ということから３、７を因数に持たないことを示せば良い

i) ​\( n\equiv0\pmod3 \)​のとき​\( n^2+1\equiv1\pmod3 \)​

　​\( n\equiv\pm1\pmod3 \)​のとき​\( n^2+1\equiv2\pmod3 \)​

よって３の倍数ではない

ii) ​\( n\equiv0\pmod7 \)​のとき​\( n^2+1\equiv1\pmod7 \)​

　​\( n\equiv\pm1\pmod7 \)​のとき​\( n^2+1\equiv2\pmod7 \)​

　​\( n\equiv\pm2\pmod7 \)​のとき​\( n^2+1\equiv5\pmod7 \)​

　​\( n\equiv\pm3\pmod7 \)​のとき​\( n^2+1\equiv3\pmod7 \)​

よって７の倍数ではない

以上より​\( n^2-1 \)​は８の倍数であり３、７を因数に持つことから168の倍数である。

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(3) (2)より​\( n^2-1=168t \)​とおくと​\( n^2+1=(n^2-1)+2=168t+2 \)​なので

​\( (n^2+1)(n^2-1)=210m^2 \)​より

​\( 168t(168t+2)=210m^2 \)​よって

​\( m^2=\dfrac{168t(168t+2)}{210}\\=\dfrac{2^3t(84t+1)}{5} \)​

​\( m^2 \)​が平方数となるためには少なくともtは２と５を因数に持たねばならない。

そこで​\( t=10 \)​とすると

​\( m^2=\dfrac{2^3\cdot10(840+1)}{5}=2^4(840+1)=2^4\cdot29^2 \)​となるので​\( m=116 \)​

​\( n^2-1=1680 \)​なので​\( n^2=1681=41^2 \)​

​\( n=41 \)​

( m、n )=(116、41)が求まる。

 

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）