問題

空間内の４点O(0、0、0)、A(0、2、3)、B(1、0、3)、C(1、2、0)を考える。

このとき以下の問いに答えよ。

(1) 4点O、A、B、Cを通る球面の中心Dの座標を求めよ。

(2) 3点A、B、Cを通る平面に点Dから垂線をひき、交点をFとする。線分DFの長さを求めよ。

(3) 四面体ABCDの体積を求めよ。

今回は普通に解けるベクトルの問題です。

(1) D(a、b、c)とおくDは球面の中心なので

​\( OD=AD=BD=CD \)​よって​\( OD^2=AD^2=BD^2=CD^2\\a^2+b^2+c^2\\=a^2+(b-2)^2+(c-3)^2\\=(a-1)^2+b^2+(c-3)^2\\=(a-1)^2+(b-2)^2+c^2 \)​

これらをまとめると

​\( \begin{cases}4b+6c=13\\2a+6c=10\\2a+4b=5\end{cases} \)​

これらを解くと​\( a=\dfrac{1}{2}、b=1、c=\dfrac{3}{2} \)​

​\( D(\dfrac{1}{2}、1、\dfrac{3}{2}) \)​となります。

Fは平面ABC上の点なので

​\( \overrightarrow{AF}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} \)​

​\( \overrightarrow{AB}=(1-0、0-2、3-3)=(1、-2、0) \)​

​\( \overrightarrow{AC}=(1-0、2-2、0-3)=(1、0、-3) \)​

より

​\( \overrightarrow{AF}=(s、-2s、0)+(t、0、-3t)\\=(s+t、-2s、-3t) \)​

​\( \overrightarrow{AD}=( \dfrac{1}{2}-0、1-2、\dfrac{3}{2}-3)=(\dfrac{1}{2}、-1、-\dfrac{3}{2}) \)​

​\( \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD} \\=(s+t-\dfrac{1}{2}、-2s+1、-3t+\dfrac{3}{2}) \)​

​\( \overrightarrow{AB}\ \bot \overrightarrow{DF} \)​より​\( \overrightarrow{AB}\ \cdot\overrightarrow{DF}=0 \)​

​\( 1\cdot(s+t-\dfrac{1}{2})＋(-2)\cdot(-2s+1)+0\cdot(-3t+\dfrac{3}{2})=0 \)​

よって​\( 5s+t=\dfrac{5}{2}\\10s+2t=5\dots① \)​

​\( \overrightarrow{AC}\ \bot \overrightarrow{DF} \)​より​\( \overrightarrow{AC}\ \cdot\overrightarrow{DF}=0 \)​

​\( 1\cdot(s+t-\dfrac{1}{2})+0\cdot(-2s+1)+(-3)\cdot(-3t+\dfrac{3}{2})=0 \)​

よって​\( s+10t=5\dots② \)​

①、②を解くと​\( s=\dfrac{40}{98}=\dfrac{20}{49} \)​　​\( t=\dfrac{45}{98} \)​

​\( \overrightarrow{DF}=(\dfrac{40}{98}+\dfrac{45}{98} -\dfrac{1}{2}、-2\dfrac{40}{98}+1、-3\dfrac{45}{98} +\dfrac{3}{2}) \\=(\dfrac{18}{49}、\dfrac{9}{49}、\dfrac{6}{49})\\=\dfrac{3}{49}(6、3、2)\)​

​\( |\overrightarrow{DF}|=\dfrac{3}{49}\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\dfrac{3}{\sqrt{49}}=\dfrac{3}{7} \)​

(3) まず底面となる△ABCの面積を求める。

\( \overrightarrow{AB}=(1-0、0-2、3-3)=(1、-2、0) \)​

​\( \overrightarrow{AC}=(1-0、2-2、0-3)=(1、0、-3) \)​

より​\( \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1 \)​

​\( |\overrightarrow{AB}\ |=\sqrt{5}、|\overrightarrow{AC}\ |=\sqrt{10} \)​

△ABC​\( =\dfrac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2} =\dfrac{1}{2}\sqrt{5\cdot10-1}=\dfrac{7}{2}\)​

よって

​\( V=\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2} \)​となります。

今回は空間ベクトルの取り扱いの基本的なものです。しっかり身につけておきましょう。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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