問題

​\( f(x)=x^3+2x^2+2 \)​とする。​\( |f(n)| \)​と​\( |f(n+1)| \)​がともに素数となる整数nを全て求めよ。

​\( |f(n)|=|n^3+2n^2+2|=|n^3+2(n^2*1) |\)​と考えると

nが奇数のとき\( |f(n)| \)は奇数となり、nが偶数のとき\( |f(n)| \)は偶数となります。

また​\( |f(n+1)|=|(n+1)^3 +2\{(n+1)^2+1\}\)​であることから

nが奇数のときn+1は偶数なので​\( |f(n+1)| \)​が偶数となり、

nが偶数のときn+1は奇数なので​\( |f(n+1)| \)​が奇数となります。

つまり片方が奇数でもう片方が偶数である素数ならば偶数の方は２となります。

①\( |f(n)|=2 \)のとき​\( n^3+2n^2+2=\pm2 \)​なので

​(i) ​\( n^3+2n^2+2=2 \)​のとき\( n^2(n+2)=0 \)​より​\( n=0、-2 \)​

n=0のとき​\( |f(0)|=2 \)​、​\( |f(1)|=1+2+2=5 \)​どちらも素数なので題意を満たす。

n=-2のとき​\( |f(-2)|=2 \)​、​\( |f(-1)|=-1+2+2=3 \)​どちらも素数なので題意を満たす。

(ii)​\( n^3+2n^2+2=-2 \)​のとき​\( n^3+2n^2+4=0 \)​

ここで止まってしまいますよね。

これが整数解を持つのであればその候補は​\( n^3 \)​の係数は１、定数項は４なので

​\( \pm\dfrac{４の約数}{１の約数} \)​であるから​\( \pm1、\pm2、\pm4 \)​

これらは全て解とはならないので整数解は持たない。

別のアプローチだと

​\( n^3+2n^2=-4\\n^2(n+2)=-4 \)​

なので​\( n^2 \)​は４の約数である。

nは整数であることから​\( n=\pm1、\pm2 \)​これらは全て解とはならないので整数解は持たない。

②\( |f(n+1)|=2 \)のとき①より​\( n+1=0、-2 \)​​となるので​\( n=-1、-3 \)​

n=-1のとき​\( |f(-1)|=3 \)​、​\( |f(0)|=2 \)​どちらも素数なので題意を満たす。

n=-3のとき​\( |f(-3)|=3 \)​、​\( |f(-2)|=2 \)​どちらも素数なので題意を満たす。

①②より​\( n=-3、-2、-1、0 \)​となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤)

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