問題
以下の問いに答えよ。
(1) a、bは互いに素である\( \sqrt{2} \)と\( \sqrt[3]{3} \)が無理数であることを示せ。
(2) \( p、q、\sqrt2\ p+\sqrt[3]{3}\ q \)がすべて有利数であるとする。そのとき\( p=q=0 \)
であることを示せ。
代表的な背理法の問題です。
背理法は結論を否定すると矛盾を生じることを示すものです。
(1) \( \sqrt{2} \)が有理数であると仮定する。
\( \sqrt{2}=\dfrac{b}{a} \) (a、bは互いに素である自然数)とする。
\( 2=\dfrac{b^2}{a^2}\ より\ 2a^2=b^2 \)
\( b^2 \)は２の倍数なのでbは２の倍数となり\( b=2k \)とおける。
\( 2a^2=b^2\ なので\ 2a^2=(2k)^2=4k^2 \)
\( a^2=2k^2 \)なのでaは２の倍数となる。
これはa、bは互いに素であることに矛盾する。
よって\( \sqrt{2} \)は無理数である。
同様に
\( \sqrt[3]{3} \)が有理数であると仮定する。
\( \sqrt[3]{3}=\dfrac{b}{a} \) (a、bは互いに素である自然数)とする。
\( 3=\dfrac{b^3}{a^3}\ より\ 3a^3=b^3 \)
\( b^3\)は３の倍数なのでbは３の倍数となり\( b=3k \)とおける。
\( 3a^3=b^3\ なので\ 3a^2=(3k)^2=9k^2 \)
\( a^2=3k^2 \)なのでaは３の倍数となる。
これはa、bは互いに素であることに矛盾する。
よって\( \sqrt[3]{3} \)は無理数である。
(2) \( p、q、r=\sqrt2\ p+\sqrt[3]{3}\ q \)とおきp、q、rが有理数と仮定すると、
\( \sqrt[3]{3}\ q=r-\sqrt2p\\3q^3=(r-\sqrt2p)^3 \)
\( 3q^3=r^3-3r^2\cdot\sqrt2p+3r(\sqrt2p)^2-(\sqrt2p)^3\\=r^3-3\sqrt2\ r^2+6rp^2-2\sqrt2p^3 \)
\( \sqrt2\ (3r^2p+2p^3)=r^3+6rp^2-3q^3\\\ \sqrt2\ p(3r^2+2p^2)=r^3+6rp^2-3q^3 \)
ここで
\( p(3r^2+2p^2)\neq0 \)のとき
\( \sqrt2=\dfrac{r^3+6rp^2-3q^3}{ p(3r^2+2p^2)} \)となりp、q、rが有理数なので
\( \sqrt2 \)が有理数となり矛盾する。
よって\( p(3r^2+2p^2)=0 \)
①\( p=0 \)のとき\( r=\sqrt[3]{3}\ q \)
\( q\neq0 \)とすると\( \sqrt[3]{3}=\dfrac{r}{q} \)
\( \sqrt[3]{3} \)が有理数となり矛盾する
よって\( q=0 \)
②\( p\neq0 \)のとき
\( 3r^2+2p^2=0\\3r^2=-2p^2 \)
右辺は正、左辺は負となり矛盾する
よって\( p=0 \)
①②より\( p=q=0 \)
（大分理系専門塾WINROAD 首藤)
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