問題

自然数m、nに対して

​\( I(m,n)=\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx \)​とする。以下の問いに答えよ。

(1) ​\( I(m+1,n+1) \)​を​\( I(m,n+1),\ I(m,n),\ m,\ n \)​を用いて表せ。

(2)すべての自然数mに対して、​\( \displaystyle \lim_{n \to\infty}I(m,n)=0 \)​が成り立つことを示せ。

(1) ​\( \small{I(m+1,n+1)=\displaystyle\int_1^ex^{m+1}e^x(log x)^{n+1}dx\\=\displaystyle\int_1^e(e^x)’x^{m+1}(log x)^{n+1}dx\\=\bigl \lfloor e^xx^{m+1}(\log x)^{n+1}\bigl \rfloor_1^e-\displaystyle\int_1^ee^x\{x^{m+1}(log x)^{n+1}\}’dx }\)​

\(\small{=e^{e+m+1}-\displaystyle\int_1^ee^x\{(m+1)x^{m}(log x)^{n+1}+x^{m+1}(n+1)(\log x)^n\dfrac{1}{x}\}dx}\)

​\( \small{=e^{e+m+1}-\displaystyle(m+1)\int_1^ee^xx^{m}(log x)^{n+1}dx-\displaystyle(n+1)\int_1^ee^xx^{m}(log x)^{n}\\ =e^{e+m+1}-(m+1)I(m.n+1)-(n+1)I(m,n)} \)​

(2) ​\( 1\leqq x\leqq e \)​において​\( x^me^x(\log x)^n\geqq0 \)​

よって​\( I(m,n)=\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx\geqq0 \)​

​\( I(m+1,n+1)=\displaystyle\int_1^ex^{m+1}e^x(log x)^{n+1}dx\geqq0 \)​

​\( I(m,n+1)=\displaystyle\int_1^ee^xx^{m}(log x)^{n+1}dx\geqq0 \)​

(1)より

​\( 0\leqq I(m,n)=\dfrac{e^{e+m+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}(m+1)I(m,n+1)-\dfrac{1}{n+1}I(m+1,n+1)\leqq \dfrac{e^{e+m+1}}{n+1} \)​

​\( \displaystyle \lim_{n \to\infty}\dfrac{e^{e+m+1}}{n+1}=0  \)​

はさみうちの原理より。

​\( \displaystyle \lim_{n \to\infty}I(m,n)=0 \)​

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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