問題

​\( \tan1° \)​は有理数か？

​極めて短い問題です。どっから手をつけていけば良いか皆目検討がつかないのですが、有理数と無理数の違いは何かが重要です。ここで有理数は分数で表すことができる数です。

tanと分数の形で思いつくのはtanの加法定理です。

\( \tan1° \)​が有理数であると仮定すると

​\( \tan2°=\dfrac{2\tan1°}{1-(\tan^21°)^2} \)​、​\( \tan1° \)​が有理数なので​\( \tan2°=\dfrac{有理数}{有理数} \)​となり有理数である。同様に​\( \tan3°=\dfrac{\tan2°+\tan1°}{1-\tan2°\tan1°} \)​、​\( \tan2° \)​が有理数なので​\( \tan3°=\dfrac{有理数}{有理数} \)​となり有理数である。

繰り返すと​\( \tan30° \)​が有理数となる。

​\( \tan30°=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)​で無理数であり矛盾する。

よって​\( \tan1° \)​は無理数である。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

Follow me!