問題

円​\( x^2+(y-1)^2=4 \)​で囲まれた図形をx軸の周りに１回転してできる立体の体積を求めよ。

図形の対称性から原点より右の部分を積分して２倍することとします。

​\( \small{\dfrac{V}{2}=\pi\displaystyle\int_0^2(1+\sqrt{4-x^2})^2dx-\pi\displaystyle\int_\sqrt3^2(1-\sqrt{4-x^2})^2dx\\=\pi\displaystyle\int_0^2(5-x^2+2\sqrt{4-x^2})dx-\pi\displaystyle\int_\sqrt3^2(5-x^2-2\sqrt{4-x^2})dx\\=\pi\displaystyle\int_0^2(5-x^2)dx+2\pi\displaystyle\int_0^2(\sqrt{4-x^2})dx-\pi\displaystyle\int_\sqrt3^2(5-x^2)dx+2\pi\displaystyle\int_\sqrt3^2(\sqrt{4-x^2})dx \\=\pi\displaystyle\int_0^\sqrt3(5-x^2)dx+2\pi\displaystyle\int_0^2(\sqrt{4-x^2})dx+2\pi\displaystyle\int_\sqrt3^2(\sqrt{4-x^2})dx}\)​

ここで

​\( \displaystyle\int_0^2(\sqrt{4-x^2})dx \)​は半径２の円の四分の1なので結果はπ

また

​\( \displaystyle\int_\sqrt3^2(\sqrt{4-x^2})dx \)​については次の図のように扇形から三角形を引いたものなので

​\( 4\pi\cdot\dfrac{1}{12}-\sqrt3\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2} \)​

次に

​\( \displaystyle\int_0^\sqrt3(5-x^2)dx=[5x-\dfrac{x^3}{3}]_0^\sqrt3=4\sqrt3 \)​

以上より​\( \dfrac{V}{2}=\pi\cdot4\sqrt3+2\pi\cdot\pi+2\pi\cdot(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2})\\=4\sqrt3\pi+2\pi^2+\dfrac{2\pi^2}{3}-\sqrt3\pi\\=3\sqrt3\pi+\dfrac{8\pi^2}{3} \)​

したがって

​\( V=6\sqrt3\pi+\dfrac{16\pi^2}{3} \)​となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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