​\( y=f(x) \)​の形(yについて解いた形)の関数を陽関数。

​\( y= \)​の形でないものを陰関数と言います。

今回は陰関数の微分についてです。

問題

​\( x^2+xy+y^2=2 \)​のとき​\( \dfrac{dy}{dx} \)​を求めよ。

両辺をxで微分する。

​\( 2x+y+x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0 \)​

注意​\( xy \)​をxで微分するとyではありませんよ。

積の微分なので​\( (xy)’=(x)’y+x(y)’ \)​です。

yはxで微分できないのでyで微分して​\( \dfrac{dy}{dx} \)​をかけて、これでxで微分したことになります。

だから​\( (xy)’=(x)’y+x(y)’\\=1\cdot y+x\cdot1\dfrac{dy}{dx}\\=y+x\dfrac{dy}{dx} \)​

となります。

計算を続けると

​\( 2x+y+x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0\\2x+y+(x+2y)\dfrac{dy}{dx}=0\\\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y} \)​

となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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