問題

数列​\( \{a_n\} \)​を

​\( a_1=1、a_{n+1}=\dfrac{na_n}{2+n(a_n+1)} \)​によって定める。

(1) ​\( a_2、a_3、a_4 \)​を求めよ。

(2) 一般項​\( a_n \)​をnを用いて表せ。

(3) ​\( \displaystyle\lim_{m\to \infty}m\displaystyle\sum_{n=m+1}^{2m}a_n \)​を求めよ。

(1) ​\( a_2=\dfrac{1\cdot1}{2+1\cdot(1+1)}=\dfrac{1}{4} \)​

​\( a_3=\dfrac{2\cdot\dfrac{1}{4}}{2+2\cdot(\dfrac{1}{4}+1)}=\dfrac{1}{9} \)​

​\( a_4=\dfrac{3\cdot\dfrac{1}{9}}{2+3\cdot(\dfrac{1}{9}+1)}=\dfrac{1}{16} \)​

(2) (1)より​\( a_n=\dfrac{1}{n^2} \)​と推定される、したがって数学的帰納法で証明していく。

①​\( n=1 \)​のとき

​\( a_1=\dfrac{1}{1^2}=1 \)​で成立

②​\( n=k \)​のとき​\( a_k=\dfrac{1}{k^2} \)​が成立すると仮定すると。

​\( n=k+1 \)​のとき

​\( a_{k+1}＝\dfrac{ka_k}{2+k(a_k+1)}\\=\dfrac{k\cdot\dfrac{1}{k^2}}{2+k(\dfrac{1}{k^2}+1)}\\=\dfrac{\dfrac{1}{k}}{2+k(\dfrac{1+k^2}{k^2})}\\=\dfrac{1}{k^2+2k+1}=\dfrac{1}{(k+1)^2} \)​

となり​\( n=k+1 \)​のときも成立。

①、②より数学的帰納法より​\( a_n=\dfrac{1}{n^2} \)​

(3) ​\( \displaystyle\lim_{m\to \infty}m\displaystyle\sum_{n=m+1}^{2m}a_n\\=\displaystyle\lim_{m\to \infty}m\displaystyle\sum_{n=m+1}^{2m}\dfrac{1}{n^2}\\=\displaystyle\lim_{m\to \infty}m\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\dfrac{1}{(n+m)^2}\\=\displaystyle\lim_{m\to \infty}\dfrac{m^2}{m}\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\dfrac{1}{(n+m)^2}\\=\displaystyle\lim_{m\to \infty}\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\dfrac{m^2}{(n+m)^2}\\=\displaystyle\lim_{m\to \infty}\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\dfrac{1}{(\dfrac{n}{m}+1)^2}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{(x+1)^2}dx =\dfrac{1}{2}\)​

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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