数学Ａ（数学と人間の活動）に「合同式」（発展）がある。学校の授業で扱われないままの状態になっていると思います。しかし、難関大学受験組はマスターしておいた方が良いですよ。合同式を使えないと、入試で苦しい展開になってしまうことも。（※整数論を出題しない大学もありますので、志望校の2次試験数学出題範囲に入っているかどうかを各自確認してくださいね。）
また、灘高校受験を考えている人達も、合同式を理解して使えるようにしておくと非常に有利です。「高校への数学 高校入試 1対1の数式演習」（東京出版）にも取り上げられていますよね。合同式を使うことで素早く答えにたどり着けますからね。

合同式とは？

「2つの整数a,bを正の整数で割ったときの余りが等しいとき、a,b は m を法として合同である」という。このとき、数学では次の式で表す。

a ≡ b (mod m)

例えば、12を5で割ったときの余りは2、7を5で割ったときの余りも2となるから

12 ≡ 7 (mod 5)

と表せる。

また、a ≡ b (mod m)が成立するとき、a – b は m の倍数なので、整数kを用いて表すと「a – b = mk」となる。
a を m で割ったときの余りを r とすると、r を m で割ったときの余りも r となるから、a ≡ r (mod m) が成立する。

合同式には次の性質がある。

a,b,c,dが整数、m,xが正の整数で、a ≡ b (mod m)、c ≡ d (mod m) が成り立つとき

① a + c ≡ b + d (mod m)

② a – c ≡ b – d (mod m)

③ ac ≡ bd (mod m)

④ a^x ≡ b^x (mod m)

①～④がいまいちピンとこない場合は、具体的な数字を入れて、自身で確かめるとよい。実感はとても大切。文字式を眺めてわからない場合は「具体的な数字を突っ込んで、実験してみる。」普段から具体的な数字を突っ込んで考える癖をつけておくことはとても重要です。極端な数字を入れて確かめてみるとかね。そのスキルは入試問題を解くときに役立ちますよ。

④を使えるようにしておくと

12¹⁰⁰を5で割ったときの余りは？

なんて聞かれた時は重宝しますよ。

気合で　12×12×12×12×……と12を100回かけてみた

なんてしないように。(そのまま計算に向かう根性があるならば、ぜひ合同式の理解に時間を費やしてください。)

解いておきましょうか。

（解）12 ≡ 2 ( mod 5 )だから、④の合同式の性質から 12¹⁰⁰ ≡ 2¹⁰⁰( mod 5 )

ここで 2¹⁰⁰ = 2^4×25 = 16²⁵

よって　12¹⁰⁰ ≡ 16²⁵ ( mod 5 )

16 ≡ 1 ( mod 5 ) だから、16²⁵ ≡ 1²⁵ = 1 ( mod 5 )

つまり、12¹⁰⁰を5で割った余りは「1」となる。

（大分理系専門塾WINROAD 江本）

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