問題１

x、yが互いに素である自然数とするとき、​\( \dfrac{4x+9y}{3x+7y} \)​は既約分数であることを証明せよ。

4x+9yと3x+7yが互いに素であることを示せば良いので、ユークリッドの互除法を使うと

​\( 4x+9y=(3x+7y)\cdot1+x+2y\\3x+7y=(x+2y)\cdot3+y\\x+2y=y\cdot2+x \)​

となるので4x+9yと3x+7yの公約数はxとyの公約数となる。

x、yは互いに素であるから公約数は１。

よって4x+9yと3x+7yの公約数は１となる。

したがって4x+9yと3x+7yは互いに素となる。

以上より​\( \dfrac{4x+9y}{3x+7y} \)​は既約分数である。

問題２

nを自然数とする。​\( 2^n+1 \)​と​\( 2^n-1 \)​は互いに素である事を示せ。　　(九州大)

​\( 2^n+1=(2^n-1)\cdot1+2 \)​

​\( 2^n+1 \)​と​\( 2^n-1 \)​の公約数は​\( 2^n-1 \)​と2の公約数となる。

\( 2^n-1 \)は奇数で2は偶数なので公約数は1である。

よって​\( 2^n+1 \)​と​\( 2^n-1 \)​の公約数が1となるので

​\( 2^n+1 \)​と​\( 2^n-1 \)​は互いに素である。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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