問題

​​\( 1<x<y\)​および​\( (1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​をみたす

自然数x、yの組(x , y )をすべて求めよ。(一橋大)

まずどのように攻めていったらいいか分からなかったら、まずは値を入れてみてどのようになるかを

調べていくことから始めましょう

とりあえず1<x<yでx , yは自然数なのでx=2から初めてみましょう。

x=2のとき​\( (1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{3}{2}(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​

となり​\( (1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{10}{9} \)​​\( \dfrac{1}{y}=\dfrac{10}{9}-1=\dfrac{1}{9} \)​で

​\( y＝９ \)​

これは​\( １<x＜y \)​を満たすのでOK!

x=3のとき​\( \dfrac{4}{3}(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​​\( (1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{4}⇨\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4} \)​で

​\( y=4 \)​これも​\( １<x＜y \)​を満たすのでOK!

xが増加したときにyが減少していることに注意!

x=4のとき​\( \dfrac{5}{4}(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​​となり\( (1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{4}{3} \)​

​\( \dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3} \)​で

​\( y=3 \)​これは​\( １<x＜y \)​より不適

ここでxがyよりも大きくなってしまいました。つまりxが４以上では成立しないのでは！

だからxが４以上では解がないことを示せば良いのです。

​\( x\geqq4 \)​のとき​\( \dfrac{5}{4}(1+\dfrac{1}{y})\geqq\dfrac{5}{3} \)​

この不等式がなぜ成り立つのか?

​\( \dfrac{5}{4}(1+\dfrac{1}{y})>\dfrac{6}{5}(1+\dfrac{1}{y})>\ldots>(1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​だからです

話は戻って

​\( \dfrac{5}{4}(1+\dfrac{1}{y})\geqq\dfrac{5}{3} \)​ですから​\( \dfrac{1}{y}\geqq\dfrac{1}{3} \)​

つまり​\( y\leqq3 \)​​

\( x\geqq4でy\leqq3 \)​これは​\( １<x＜y \)​より不適。

以上より(x , y )=(2 , 9 )、( 3 , 4 )となります。

分からないときは値を代入してみて、各要素がどのように変化していくかを調べてみることも必要です。

初めから数式でなんとかしようと試みてつまずいたら１つの方策ですよ。

ちなみに数式で処理すると

​\( (1+\dfrac{1}{x})(1+\dfrac{1}{y})=\dfrac{5}{3} \)​より​\( \dfrac{(x+1)(y+1)}{xy}=\dfrac{5}{3} \)​

​\( 3(x+1)(y+1)=5xy \)​

​\( 5xy=3(xy+x+y+1) \)​

​\( 5xy-3xy-x-y-3=0 \)​

​\( 2xy-3x-3y-3=0 \)​ここで整数問題の定番の形に持ち込みたいので両辺を２倍します。

​\( 4xy-6x-6y-6=0 \)​

​\( (2x-3)(2y-3)-9-6=0\\(2x-3)(2y-3)=15 \)​

x、yは自然数で​​\( 1<x<y\)​なので

​\( 2x-3=1、2y-3=15\\または2x-3=3、2y-3=5 \)​

以上より(x , y )=(2 , 9 )、( 3 , 4 )となります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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