問題

階段を上るとき、一度に上ることができる段数は１段または２段のみであるとする。このとき

以下の問いに答えなさい。

(1) ちょうど10段上る方法は全部で何通りあるか答えなさい。

(2) nを正の整数とする。ちょうどn段上る方法は全部で何通りあるかを答えなさい。

(1)　まずは２段で上る回数で分けて考えましょう。

２段が５回の時　これは１通り

２段が４回の時　１段が２回となるので　​\( _6C_2=\dfrac{6\cdot5}{2\cdot1}=15 \)​通り

２段が３回の時　１段が４回となるので　​\( _7C_4=_7C_3=\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35 \)​通り

２段が２回の時　１段が６回となるので　​\( _8C_6=_8C_2=\dfrac{8\cdot7}{2\cdot1}=28 \)​通り

２段が１回の時　１段が８回となるので　​\( _9C_8=_9C_1=9 \)​通り

１段のみの時　これも１通り

以上より　1+15+35+28+9+1=89通り

(2) ちょうどn段上るとき​\( a_n \)​通りとする。

ちょうどn+2段上にはn+1段から１段上るかn段から２段上るしかないので
次の漸化式が得られます。

​\( a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \)​ただし​\( a_1=1、a_2=2 \)​

特性方程式は​\( x^2=x+1つまりx^2-x-1=0 \)​

これを解くと​\( x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} \)​この２つの解をα、βとすると

​\( a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)\dots① \)​

​\( ( a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\dots② \)​

①より​\( a_{n+1}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} a_n＝（2-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} )({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n-1}\\＝（\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} )({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n-1}\\＝({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^2({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n-1}\\=({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n+1}\dots ① \)​

②より​\( a_{n+1}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} a_n＝（2-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}\\=（\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} )({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^{n-1}\\＝({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^2({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^{n-1}\\=({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^{n+1}\dots ② \)​

ここで

​\( (\dfrac{1-\sqrt5}{2})^2=\dfrac{6-2\sqrt5}{4}=\dfrac{3-\sqrt5}{2} \)​

​\( (\dfrac{1+\sqrt5}{2})^2=\dfrac{6+2\sqrt5}{4}=\dfrac{3+\sqrt5}{2} \)​

に気づいたでしょうか？

気づかなくても大幅な減点には至らないと思いますよ。

②式ー①式より

​\( \sqrt{5}a_n=({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^{n+1}-({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n+1} \)​

よって答えは

​\( \dfrac{1}{\sqrt{5}}[({\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} })^{n+1}-({\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} })^{n+1}]  \)​通りとなります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤）

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