問題

​\( log_{10}3=0.4771 \)​として、​\( \displaystyle\sum_{n=0}^{99}3^{\ n} \)​の桁数を求めよ。

まず​\( \displaystyle\sum_{n=0}^{99}3^{\ n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{100}3^{\ n-1}=\dfrac{1(3^{100}-1)}{3-1}=\dfrac{3^{100}-1}{2} \)​

ここで直接、常用対数をとっても値が出せません。

この場合不等式で挟んで値の範囲を調べることにします。

​\( 3^{100}-1<3^{100} \)​なので上限はすぐ求まりますが、下限が問題となります。

​\( 3^{100} \)​に比べ１は十分に小さいので​\( 3^{100} \)​を利用します。

​\( 3^{100}=3\cdot3^{99}>2\cdot3^{99} \)​

したがって

​\( 2\cdot3^{99}<3^{100}-1<3^{100} \)​となります

​\( 3^{99}<\dfrac{3^{100}-1}{2}<\dfrac{3^{100}}{2} \)​

常用対数をとると

​\( 99log_{10}3<log_{10}\dfrac{3^{100}-1}{2}<100log_{10}3-log_{10}2<100log_{10}3 \)​

つまり

​\( 99\times0.4771<log_{10}\dfrac{3^{100}-1}{2}<100\times0.4771\\47.2329<log_{10}\dfrac{3^{100}-1}{2}<47.71 \)​

以上より48桁ということがわかります。

（大分理系専門塾WINROAD 首藤)

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