問題
\( a>0 \)に対して、\( f(x)=a+\log x\ (x>0) \)、\( g(x)=\sqrt{x-1} \ (x\geqq1) \)とおく。
２曲線\( y=f(x)、\ y=g(x) \)がある点Pを共有し、その点で共通の接線 lを持つとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) aの値、点Pの座標、および接線 lの方程式を求めよ。
(2) ２曲線は点P以外の共有点を持たないことを示せ。
(3) ２曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) 点Pを共有することからPのx座標をtとすると、\( f(t)＝g(t) \)より
\( a+\log t=\sqrt{t-1} \)…①
共通接線を持つので\( f'(t)=g'(t) \)\( f'(x)=\dfrac{1}{x}、g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \)なので
\( \dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{2\sqrt{t-1}} \)…②
②より\( \dfrac{1}{t^2}=\dfrac{1}{4(t-1)}\\t^2-4t+4=0\\(t-2)^2=0 \)
\( t=2 \) これを②に代入し\( a+\log2=1\\a=1-\log2 \)
このとき\( f(2)=g(2)=1 \)なので点Pの座標は\( P(2,1) \)
また\( f'(2)=g'(2)=\dfrac{1}{2} \)より接線の方程式は
\( y-1=\dfrac{1}{2}(x-2)\\y=\dfrac{1}{2}x \)
となります。
(2)\( h(x)=f(x)-g(x) \)とおき\( h(x)=o \)が\( x=2 \)以外の解を持たない事を示せば良い。
\( h(x)=1-\log2+\log x-\sqrt{x-1} \)
\( h'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\\=\dfrac{2\sqrt{x-1}-x}{2\sqrt{x-1}} \)
分子を有理化すると
\( h'(x)=\dfrac{4(x-1)-x^2}{2\sqrt{x-1}(2\sqrt{x-1}+x)}\\=\dfrac{-(x-2)^2}{2\sqrt{x-1}(2\sqrt{x-1}+x)}\leqq0 \)
h(x)は単調減少となります。\( h(1)=1-\log2 \)、\( h(2)=0 \)
| x | １ | … | ２ | … |
| f'(x) | ー | -ー | ０ | -ー |
| f(x) | １ーlog２ | ↘️ | ０ | ↘️ |
以上よりh(x)＝０は\( x＝２ \)以外の解を持たない。よってP以外の共有点を持たない。
\( f(x)=0\\1-\log2+\log x=0\\\\log x=log 2-\log e\\x=\dfrac{2}{e} \)
よって求める面積は
\( \small\displaystyle S=\int_{\small{\dfrac{2}{e}}}^{2}f(x)dx-\int_1^2g(x)dx\\=\displaystyle\int_{\dfrac{2}{e}}^2(1-\log 2+\log x)dx-\int_1^2\sqrt{x-1}dx \)
\( \displaystyle\int_{\dfrac{2}{e}}^2(1-\log 2+\log x)dx =[(1-\log2)x+x\log x-x]_{\dfrac{2}{e}}^2\\=[x(\log x-\log 2)]_{\dfrac{2}{e}}^2\\=[x\log{\dfrac{x}{2}}]_{\dfrac{2}{e}}^2\\=\dfrac{2}{e} \)
\( \displaystyle\int_1^2\sqrt{x-1}dx=[\dfrac{2}{3}(x-1)^{\dfrac{3}{2}}]_1^2=\dfrac{2}{3} \)
以上より
\( S=\dfrac{2}{e}-\dfrac{2}{3} \)となります。
基本通りに解けば良い問題です。
（大分理系専門塾WINROAD 首藤）
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