問題
静止した空気中におかれた共鳴箱のついた２台のおんさを考える。おんさAをたたくと振動数\( f_A [Hz] \)の音波を発生させるとともに、その共鳴箱は同じ振動数\( f_A \)の音波に共鳴する。同様に、おんさBは振動数\( f_B [Hz] \)の音波を発生させ、その共鳴箱は振動数\( f_B \)の音波に共鳴する。ただし\( f_A \)と\( f_B \)はわずかに異なり\( f_A>f_B \)である。空気中における音波の伝わる速さを\( V[m/s] \)とし、おんさの移動する速さは\( V \)と比べて十分に遅いと考える。以下の問１〜５に答えなさい。
問１ 図１のように静止しているおんさAとBを同時にたたいたところ、うなりが発生した。一秒あたりのうなりの回数\( f \)を\( f_A、f_B \)を用いて表しなさい。
問２ 図２のようにおんさBをたたいておんさAに近づける向きに一定の速さ\( v[m/s] \)で動かしたところ、静止しているおんさAが共鳴した。このとき\( f_A、f_B \)を\( f、V、v \)を用いて表しなさい。
問３ 図３のようにおんさA、観測者、おんさBが一直線上に並んでいる。おんさA、Bをたたいてから観測者から遠ざかるように逆向きに同じ一定の速さvで動かした。静止している観測者が聞くおんさAとBの振動数\( f’_A [Hz]、f’_B[Hz] \)をそれぞれ\( f_A、f_B \)を用いて表しなさい。
問４ 問３の観測者が聞く一秒あたりのうなりの回数\( f_O \)を\( f、V、v \)を用いて表しなさい。
問５ \( f_A=680Hz \)であるとき、図４に示すおんさAの共鳴箱の長さL[m]の最小値を求めなさい。ただし、\( V=340[m/s] \)とし、開口端補正は無視できるものとする。
問１ うなりは振動数の差なので\( f=f_A-f_B \)
問２ 音源が移動するドップラー効果なのでおんさAに到達する音波の振動数は
\( f_B\cdot \dfrac{V}{V-v} \)これで共鳴しているので\( f_A=f_B\cdot \dfrac{V}{V-v} \)
\( f_A-f_B=f \)より\( \dfrac{V}{V-v}f_B-f_B=f\\(\dfrac{V}{V-v}-1)f_B=f\\f_B=\dfrac{V-v}{v}f \)
\( f_A=\dfrac{V}{v}f \)
問３
まず\( f’_A=f_A\dfrac{V}{V+v}\dots①、 f’_B=f_B\dfrac{V}{V+v}\dots② \)でありここからVとvをどのように消去して\( f_A、f_B \)だけで表すかを考えなければなりません。ここでもう一つ\( f_A、f_B \)の関係式があり、それが\( f_A=f_B\cdot \dfrac{V}{V-v}\dots③ \)
③より\( V-v=\dfrac{f_B}{f_A}V\dots③\ ’ \)①より\( V+v=\dfrac{f_A}{f’_A}V\dots①\ ‘ \)
①’＋③’より
\( 2V=(\dfrac{f_A}{f’_A}+\dfrac{f_B}{f_A})V\\2f’_Af_A=f_A^2+f’_Af_B\\(2f_A-f_B)f’_A=f_A^2\\f’_A=\dfrac{f_A^2}{2f_A-f_B} \)
となります。また②より
\( V+v=\dfrac{f_B}{f’_B}V\dots②\ ’ \)
②’＋③より
\( 2V=(\dfrac{f_B}{f’_B}+\dfrac{f_B}{f_A})V\\2f’_Bf_A=f_Af_B+f’_Bf_B\\(2f_A-f_B)f’_B=f_Af_B\\f’_A=\dfrac{f_Af_B}{2f_A-f_B} \)
となります。
問４
\( f_0=f’_A-f’_B=\dfrac{V}{V+v}f_A-\dfrac{V}{V+v}f_B\\=\dfrac{V}{V+v}(f_A-f_B)\\=\dfrac{V}{V+v}f \)
問５
\( f_A＝680[Hz]、V=340[m/s] \)なので\( \lambda=\dfrac{V}{f_A}=~\dfrac{340}{680}=0.5[m] \)
Lの最小値は基本振動となる\( \dfrac{\lambda}{4} \)なので\( \dfrac{0.5}{4}=0.125[m] \)となります。
（大分理系専門塾WINROAD 首藤）
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