図のように自然長l,バネ定数kの軽いバネの両端に質量Mの物体Aと質量mの物体Bをつけて、

水平で滑らかな床の上におき、全体が静止した状態に、質量M、長さ２Lの単振り子Pを衝突させる。

その後AとBは振動しながら右向きに進んだ。

ただし衝突は完全弾性衝突とする。以下の問いに答えよ。

(1) 衝突直後の物体Aの速度vを求めよ。

　以下の問題ではこのvを用いて答えよ。

(2) 重心の速さVGを求めよ。

(3) バネが自然長のとき、重心からBまでの距離を求めよ。

(4) Bの運動は、重心から見たとき単振動となる。この単振動の周期を求めよ。

解答

(1) 衝突直前のPの速度は

　力学的エネルギー保存則より

　vについて解くと

　同じ質量かつ完全弾性衝突なので、物体Aの衝突後の速度は

(2) 今回重心の速さということは物体A,Bをまとめた全体を系として捉えなければならないので

　質量Mの振り子が速度vで、質量M+mの系に衝突すると考える。

　運動量保存則より

これにより

となります。

(別解)

質量Mの物体Aが速度VA,質量mの物体Bが速度VBで運動しているとき重心の速度VGは

となるので、この場合衝突後の物体Aの速度がV,物体Bの速度が０なので

今回このA,Bからなる系に外力が働かないので、

重心の速度は一定で変化しない。

よって

となります。

(3) バネが自然長の時、バネの左端を原点とし重心の位置を求めると

よって重心から物体Bまでの距離は

となります。

(4) 重心から見て物体Bは自然長がのバネの単振動となります。

ここで前回の記事の「一様なバネではバネ定数がその長さに反比例する。」

となるのでこの場合のバネ定数Kは

となります。

よってその周期は

となります。

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