数Ⅲの積分が難しい…と感じる人
この時期、高３理系の皆さんは、数Ⅲの積分が試験範囲となっていると思います。初めから、これは
置換積分、これは部分積分と分かっている場合はできるけど、ノーヒントで積分するのが厳しいという
人は、以下を参考にして下さい。また、理系の高２生で先取り学習していて、積分で詰まったと感じる
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(Ⅰ)被積分関数に三角関数、指数関数、対数関数が入っていない場合
(ⅰ)被積分関数に根号が有るとき
根号内が１次式 → \(\sqrt{ １次式 }=t\)とおいて置換積分
根号内が２次式 → \(\sqrt{a^2-x^2}\) なら、\(x=a\sin\theta\)とおいて置換積分
\(\sqrt{x^2+A}\) なら、\(x+\sqrt{x^2+A}=t\)とおいて置換積分
(ⅱ)被積分関数に根号が無いとき
被積分関数が多項式ならそのまま積分
被積分関数が分数式の場合
分数式が\(\frac{f'(x)}{f(x)}\)なら、\(\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)| + C\)
(分子の次数)≧(分母の次数) → 割り算して、分子の次数下げ
↓
(分子の次数)＜(分母の次数) → 分母を実数の範囲で因数分解 → 部分分数分解
部分分数分解後の分母が
１次式：\(\displaystyle\int\frac{1}{x-a}dx=\log |x-a| + C\)
２次式：\(\displaystyle\int\frac{x}{x^2+a}dx=\frac{1}{2}\log |x^2+a| + C\)
\(\displaystyle\int\frac{1}{x^2+a^2}dx\) → \(x=a\tan\theta\) とおいて置換積分
(Ⅱ)被積分関数に、三角関数または指数関数または対数関数が入っている場合
(ⅰ)被積分関数に三角関数が入っていないとき
(指数関数)✕(多項式関数) → 「多項式関数を微分する」部分積分
(対数関数)✕(多項式関数) → 「対数関数を微分する」部分積分
(ⅱ)被積分関数に三角関数が入っているとき
①被積分関数が三角関数のみ
\((\sin x)^k\cos x\) または \((\cos x)^k\sin x\) の形 → \(\{f(x)\}^kf'(x)\) の型として積分
それ以外で三角関数のみ → 半角の公式、積和公式、３倍角の公式などを用いて次数下げ
➁被積分関数が (三角関数)✕(多項式) → 「多項式を微分する」部分積分
➂被積分関数が \(e^{ax}\cos bx\) → \((e^{ax}\cos bx)’\) , \((e^{ax}\sin bx)’\) から求める
\(e^{ax}\sin bx\) → 上と同様
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