ざっと紹介すると、下記のようなものである。

(a² ＋ b²)(x² ＋ y²) ≧ (ax ＋ by)²

等号成立は　x/a = y/b　のとき

(a² ＋ b² ＋ c²)(x² ＋ y² ＋ z²) ≧ (ax ＋ by ＋ cz)²

等号成立は　x/a = y/b = z/c　のとき

これ、文字がごちゃごちゃしているため、参考書で出会ってもスルーしてしまっている場合が多い。作り方はとても簡単。ベクトルの内積公式があるよね？それを利用すればこの不等式は証明できる。プラス、簡単に暗記できてしまいます。

暗記して何か得することがあるのか？？

そうだね、下記のような問題に利用できる。

（問）5x ＋ y = 6 のとき x²＋y²の最小値を求めよ。

この問題を見たときに、大抵の場合　y=-5x＋6 と変形して　x²＋y²　の式に代入、と考えるでしょう。２次関数で解くことができる。でも・・・5x　が入っているし、計算がめんどうな感じがするよね？

では、これをコーシー・シュワルツの不等式を利用して解いてみよう。

5x＋y = 6より　a=5 , b=1

(5²＋1²)(x²＋y²)≧(5・x＋1・y)²

5・x＋1・y = 5x＋y = 6 だから

26(x²＋y²)≧(6)2

26(x²＋y²)≧36

13(x²＋y²)≧18

x²＋y²≧18/13

つまり、最小値は18/13とわかる。

等号成立は　x/5 = y/1 のとき。5x＋y = 6と合わせて　x = 15/13 、y = 3/13 となる。

煩わしい計算をショートカットできちゃいましたね。

知っていればお得ということです。

Follow me!