高校生のみなさんこんにちは。明野の塾、進学予備校ウインロード大分明野校の首藤です。
問題です。
次の定積分を求めよ。
\[
\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}dx
\]
そのまま積分計算しますか？
ちょっと待って！
グラフで考えてみよう。
\[y=\sqrt{x(1-x)} \rightleftarrows
y^2=x-x^2\]
\[
（x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}ここで y\geqq０なので下の図の半円となります。
\]
だから問題の定積分は上の半円の面積なのです。
よって\[π(\frac{1}{2})^2\times\frac{1}{2}=\frac{π}{8}となります。
\]
図形的な意味を考えて積分しましょう。