判別式Dの使い方

2020.2.9|江本の数学勉強法シリーズ 江本のつぶやき


体系数学 代数編2や数学Ⅰで「判別式D」を習いますよね。
D = b2-4ac
 

2次方程式の解の公式のルートの中身である。

 

D>0 のとき 異なる2つの実数解をもつ
 

D=0 のとき ただ1つの実数解(重解)をもつ
 

D<0 のとき 実数解はない

 

これは教科書に載っているし、知っていて当たり前の知識である。
 

しかし、判別式の利用はこれだけではない。ここから先の知識は教科書の中で例題を扱っていないため、
 

問題集や参考書を利用して習得する知識となる。

 

実数 x,y が 2x2+4xy+3y2+4x+5y-4 = 0 を満たしている。
このとき、yの取りうる最大の値を求めよ。
(東京大学 改題)

 

上記の問題を読んで、最大値に反応して「平方完成」を思いついた人が多いと思います。
 

でもね、その方針で解いていると不具合に気づく。
 

そこで登場するのが「判別式D」である。
 

問題文の中に 判別式を使うんだな と判断できるフレーズが入っているように見えないのに?
 

判別式Dが実数解を持つ条件は D≧0 ですね。
 

不等式が登場するということはここからも最大最小が判断できるということになりますよね?

 

例えば、-2≦ x+y ≦8

 

という不等式が与えられたならば x + y の最小値は―2、最大値は8と判断できます。
 

判別式にはこんな使い方もあります。また、整数問題の範囲の絞り込みにも大活躍です。

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