数学の有名問題(1)の答
こんにちは。進学予備校ウインロードです。今日は、前回の問題の解答を…
[問題]
３次方程式 \(x^3-x-1=0\) ……① について、次の問いに答えよ。
(1) \(x=u+v\) であり、\(u^3+v^3-1=3uv-1=0\) ……➁ であるならば、①が成り立つ
ことを示せ。
(2) ➁を満たす複素数 \(u,v\) について、\(u^3,v^3\) を解にもつ \(t\) の２次方程式を１つ求めよ。
(3) １の虚数立方根 \(\omega=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) を用いて①の解を求めよ。
[解答]
(1) \(x=u+v\) のとき、\( x^3-x-1\\=(u+v)^3-(u+v)-1\\
=u^3+v^3+3uv(u+v)-(u+v)-1\\
=(u^3+v^3-1)+(3uv-1)(u+v)\)
➁より\(u^3+v^3-1=0 , 3uv-1=0\) であるので、\(x^3-x-1=0\) ……① が成り立つ。
(2) \(u^3,v^3\) を解にもつ \(t\) の２次方程式の１つとして
次のものがある。 \((t-u^3)(t-v^3)=0\) ⇄ \(t^2-(u^3+v^3)t+(uv)^3=0\)
➁より、\(u^3+v^3=1\),\(uv=\displaystyle \frac{1}{3}\) であるので、
方程式は \(t^2-t+\left( \displaystyle \frac{1}{3} \right)^3=0\) より \(t^2-t+\displaystyle \frac{1}{27}=0\)……(答)
文責：金藤
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