数学Ⅲ 逆関数の微分②

2021.1.20|高校生の数学 大分明野校


こんにちは。進学予備校ウインロード大分明野校です。

高校生のための数学


問題

関数page1image25937120の逆関数を

page1image25510512とする。

page1image25221840上の点

page1image25687248における接線を求めよ。

関数

page1image25937120

上で、点Pに対応する点P’は

page1image25421776

でこの点における接線の方程式は

page1image25184912

です。

この接線の逆関数が

page1image25687248

における の接線となります。

つまり、求める接線の方程式は

page1image25184912

xyを入れ替えた

page1image25659632

となります。つまり

page1image25596800
なので
page1image25176224
page1image25950848
page1image25814784
page1image25816448‥‥‥①

となります。


ここで逆関数を求めてから接線を求めてみます。

page1image25665872

の逆関数は

page1image25626864

つまり

page1image25243424

両辺をxで微分すると

page1image25193440
page1image25274320

ここで

page1image25221424における接線の傾きは上の式の

xypage1image25660048を代入し
page1image25688912

となります。

だから接線の方程式は

page1image25639760
page1image25950848

となり①と同じになります。

 

逆関数の取り扱いは元の関数との関係をしっかりみて、元の関数をうまく利用しましょう。

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