まずは問題です。
次の計算をしなさい。
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{6}
\]
答えは次のように計算します。
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{6}= \left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)
\]
\[
=\left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)
\]
\[
=\left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}\right)
\]
これを一般化すると
\[
1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{2m-1}- \frac{1}{2m}
\]
\[
=\left( \frac{1}{m+1}+ \frac{1}{m+2}+ \frac{1}{m+3}+\quad \cdots \quad \frac{1}{2m-1}+ \frac{1}{2m}\right)
\]
となるわけです。
次の問題を解いてみてください。
\[
\lim_{n\to \infty }\left(1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}\right)
\]
できましたか？
では、解答です
\[
\lim_{n\to \infty }\left(1- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}- \frac{1}{4}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n}\right)
\]
\[
=\lim_{n\to \infty }\left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{2n-1}+ \frac{1}{2n}\right)
\]
\[
=\lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}\left( \frac{1}{1+\frac{1}{n}}+ \frac{1}{1+\frac{2}{n}}+ \frac{1}{1+\frac{3}{n}}+\quad \cdots \quad+\frac{1}{1+\frac{n-1}{n}}+ \frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right)
\]
\[
=\lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{1+\frac{k}{n}}\right)
\]
\[
=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x} \, dx=log2
\]
となるわけです。
便利ですよね
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