別府市学習塾　進学予備校ウインロード | 上野丘・舞鶴・鶴見丘受験、難関大学受験

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高校などに通う高校生の皆さん、こんにちは。進学予備校ウインロードです。今日は、２月25日に行わ

れた九州大学前期日程の理系問題の一部とその解答例を載せます。九州大学の理系学部受験を考えてい

る人は、解いてみてください。

 

[問題]

　座標空間内の４点O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 四面体OABCに内接する球の中心の座標を求めよ。

(2) 中心の \(x\) 座標，\(y\) 座標，\(z\) 座標がすべて正の実数であり、\(xy\) 平面，\(yz\) 平面，\(zx\) 平面のすべてと
　 接する球を考える。この球が平面ABCと交わるとき、その交わりとしてできる円の面積の最大値を求
　 めよ。

 

[解答例]

(1) 求める球の中心を \(I\) , 半径を \(r\) とおく。\(I\) の \(x\) 座標，\(y\) 座標，\(z\) 座標がすべて正の実数であり、

 

\((I と xy平面との距離)=(I とyz 平面との距離)=(I とzx 平面との距離)= r\)

 

であるので、球の中心 \(I\) の座標は\(I(r,r,r)\) と表せる。

 

また、四面体OABCは４つの三角錐IOAB,IOAC,IOBC,IABCに分割できるので、四面体OABCの体積を

 

\(V\) , ４つの三角錐IOAB,IOAC,IOBC,IABCの体積をそれぞれ \(V_{1}\) , \(V_{2}\) , \(V_{3}\) , \(V_{4}\) とすれば、

 

　　　　　\(V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}=V\) ……①　　となる。

 

ここで、\(\triangle OAB\) の面積を \((\triangle OAB)\) で表すことにすると

 

\(V=\displaystyle \frac{1}{3}(\triangle OAB )\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 1  )\cdot 2=\frac{1}{3}\) ……➁　　であり、

 

以下同様に、\(V_{1}=\displaystyle \frac{1}{3}(\triangle OAB )\cdot r\)　 , 　\(V_{2}=\displaystyle \frac{1}{3}(\triangle OAC )\cdot r\) 　,　 \(V_{3}=\displaystyle \frac{1}{3}(\triangle OBC )\cdot r\) , \(V_{4}= \displaystyle\frac{1}{3}(\triangle ABC )\cdot r\) であるので、① , ➁より

 

\(\displaystyle \frac{1}{3}(\triangle OAB )\cdot r + \frac{1}{3}(\triangle OAC )\cdot r + \frac{1}{3}(\triangle OBC )\cdot r + \frac{1}{3}(\triangle ABC )\cdot r = \frac{1}{3}\)

　　　　　　　 \(\displaystyle \frac{1}{3}\{(\triangle OAB ) + (\triangle OAC ) + (\triangle OBC ) + (\triangle ABC ) \}r =\frac{1}{3}\) ……➂

 

ここで、\((\triangle OAB ) =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = \frac{1}{2}\) , \((\triangle OAC ) = (\triangle OBC ) =\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2 = 1 \) であり、

\(\overrightarrow{CA}=(1,0,0)-(0,0,2)=(1,0,-2)\) , \(\overrightarrow{CB}=(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2)\) より

 

\(\left|\overrightarrow{CA}\right|^2=1^2+0^2+(-2)^2=5\) , \(\left|\overrightarrow{CB}\right|^2=0^2+1^2+(-2)^2=5\)

\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=1\cdot 0+0\cdot 1+(-2)\cdot(-2)=4\)　であるから

\((\triangle ABC)=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{CA}\right|^2\left|\overrightarrow{CB}\right|^2-\left(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 5-4^2}=\frac{3}{2}\)　となり、➂より

 

\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}+1+1+\frac{3}{2}\right)r=\frac{1}{3}\Longleftrightarrow 4r=1\)　となって　\(\displaystyle r=\frac{1}{4}\)　を得る。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上より、求める球の中心は　\(\displaystyle\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\) ……(答)

 

　少し長くなったので、(2)は次回に…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　文責：金藤