判別式Dの使い方(2)
こんにちは。進学予備校ウインロードです。今日は、昨日の問題の解答を……
[問題] 実数 \(x,y\) が \(2x^2+4xy+3y^2+4x+5y-4=0\) を満たしている。
このとき、\(x\) のとり得る最大値を求めよ。
[解答] 与式を \(y\) の２次方程式として \(3y^2+(4x+5)y+2x^2+4x-4=0\) ……① とする
と、\(x,y\) は実数なので、\(y\) の２次方程式①は実数解をもつ。①の判別式を \(D\) とすれば
\(\begin{eqnarray}D&=&(4x+5)^2-4\cdot 3 (2x^2+4x-4) \\&=&16x^2+40x+25-12(2x^2+4x-4)\\&=&-8x^2-8x+73\end{eqnarray}\)
\(D \geq 0\) より \(-8x^2-8x+73\geq0 \iff 8x^2+8x-73\leq 0\) ……➁
ここで \(8x^2+8x-73=0\) を解くと \(x=\displaystyle\frac{-4\pm\sqrt{4^2-8(-73)}}{8}\) より
\(x=\displaystyle\frac{-2\pm5\sqrt{6}}{4}\) であるから、２次不等式➁の解は \(\displaystyle\frac{-2-5\sqrt{6}}{4}\leq x\leq\displaystyle\frac{-2+5\sqrt{6}}{4}\)
よって、求める \(x\) の最大値は \(\displaystyle\frac{-2+5\sqrt{6}}{4}\) ……(答)
どうでしょうか。判別式のこのような使い方(２次式の最大値または最小値を求めるのに判別式を
使う)は、初めて見るという高校生も居ると思います。是非この機会に身につけてくださいね。
文責：金藤
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